Тео́рия фу́нкций действи́тельного переме́нного, область математического анализа, в которой изучаются вопросы представления и приближения функций, их локальные и глобальные свойства. Для современной теории функций действительного переменного характерно широкое применение теоретико-множественных методов наряду, естественно, с классическими.Таким образом, объектом изучения в теории функций действительного переменного является функция. По поводу этого понятия Н. Н. Лузин (Лузин. 1959) писал: «Оно не сложилось сразу, но, возникнув более двухсот лет тому назад в знаменитом споре о звучащей струне, подверглось глубоким изменениям уже в начавшейся тогда энергичной полемике. С тех пор идут непрестанное углубление и эволюция этого понятия, которые продолжаются доныне. Поэтому ни одно отдельное формальное определение не может охватить всего содержания этого понятия.». В соответствии с этим представляется вполне естественным отнести истоки зарождения теории функций действительного переменного ко времени спора о колеблющейся струне (Л. Эйлер, Д. Бернулли, Ж. Л. Д’Аламбер, Ж.-Л. Лагранж и др.), хотя становление этой теории происходило в 19 в. (Ж. Фурье, О. Л. Коши, Н. И. Лобачевский, П. Дирихле, Б. Риман, П. Л. Чебышёв, К. Жордан и др.)